Question

曲面积分计算问题（高斯定理的利用）

计算曲面面积
I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy
∑
其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧

我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作！
仰望的思路正确，不过三重积分的结果有问题，还有就是dxdy的平面面积是π（2π是周长）不过还是要谢谢你

Answer 1

高斯公式要求封闭的曲面，所以在下面补了一个面，然后再减去，最后用柱面坐标积分，我是这么想的~~~
I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy

=∫【0，2π】d0∫【0，1】dr∫[0，(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy
=24π/5-6π=-6π/5

而∑表示的是一个抛物面，在dxdy上的投影是一个圆形面积为2π

Answer 2

用高斯定律得
I=∫∫∫（6x^2+6y^2+6z)dv=∫∫∫6dv=6v,v是曲面与z=0所围成的体积
曲面是个圆抛物面
v=∫πr^2dz 积分区间是[0,1]
r^2=x^2+y^2=1-z
v=π∫1-zdz=π（z-z^2/2)=π/2
I=6v=3π