Question

设f（x）=4cos（ωx-π6）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．...

设f（x）=4cos（ωx-π6）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0． （Ⅰ）求函数y=f（x）的值域 （Ⅱ）若f（x）在区间[-3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

解：f（x）=4cos（ωx-π6）sinωx-cos（2ωx+π）
=4（32cosωx+12sinωx）sinωx+cos2ωx
=23cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx
=3sin2ωx+1，
∵-1≤sin2ωx≤1，
所以函数y=f（x）的值域是[1-3，1+3]
（II）因y=sinx在每个区间[2kπ-π2，2kπ+π2]，k∈z上为增函数，
令2kπ-π2≤2ωx≤2kπ+π2，又ω＞0，
所以，解不等式得kπω-π4ω≤x≤kπω+π4ω，即f（x）=3sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[kπω-π4ω，kπω+π4ω]，k∈z上是增函数
又有题设f（x）在区间[-3π2，π2]上为增函数
所以[-3π2，π2]⊆[kπω-π4ω，kπω+π4ω]，对某个k∈z成立，
于是有-3π2≥-π4ωπ2≤π4ω．解得ω≤16，故ω的最大值是16．