Question

已知函数f(x)=a+sinx2+cosx-bx（a、b∈R），（Ⅰ）若f（x）...

已知函数f(x)=a+sinx2+cosx-bx（a、b∈R）， （Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值； （Ⅱ）若f（x）为奇函数： （1）是否存在实数b，使得f（x）在(0，2π3)为增函数，(2π3，π)为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由； （2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否则f（x）值域为R），
∴y=f(x)=a+sinx2+cosx⇒sinx-ycosx=2y-a⇒|sin(x-ϕ)|=|2y-a|1+y2≤1⇒3y2-4ay+a2-1≤0，
又△=4a2+12＞0，由题意有ymin+ymax=43a=2680，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，∵x∈R，∴f（0）=0⇒a=0，
∴f(x)=sinx2+cosx-bx，f′(x)=2cosx+1(2+cos)2-b，
（1）若∃b∈R，使f（x）在（0，23π）上递增，在（23π，π）上递减，
则f′(23π)=0，
∴b=0
并且当x∈(0，23π)时，f'（x）＞0，f（x）递增，
当x∈(23π，π)时f'（x）＜0，f（x）递减，
∴当b=0时满足题意．
（2）①f′(x)=-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b(2+cosx)2
△=4[（1-2b）2+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即b≥13，则f'（x）≤0对∀x≥0恒成立，这时f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，则当x≥0时，-bx∈[0，+∞），sinx2+cosx∈[-33，33]，f(x)=sinx2+cosx-bx不可能恒小于等于0，
③若b=0，则f(x)=sinx2+cosx∈[-33，33]不合题意，
④若0＜b＜13，
则f′(0)=1-3b3＞0，f'（π）=-b-1＜0，
∴∃x0∈（0，π），使f'（x0）=0，x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，
这时f（x）递增，f（x）＞f（0）=0，不合题意，
综上b∈[13，+∞)．