Question

勾股定理解答题

6.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

Answer 1

本题就是求河上一点到到A、B两小镇距离和最小
可以参考初中牵马到河边喝水的解法
做A关于CD的对称点A′：延长AC到点A′，使AC=A′C，连接A′B交CD于P，
AC=A′C，
AC⊥CD，所以∠ACP=∠A′CP=90
CP=CP
因此△ACP≌△A′CP
AP=A′P
现在要求AP+BP最小，也就是A′P+BP最小，因此只要A′、B、P在一条直线上即可
此时做A′D平行CD，交BD延长线于E
简单可得三角形A′EB是直角三角形，四边形A′EDC是矩形，所以A′E=CD=30，DE=A′C=10
在直角三角形A′EB中，A′E=30，BE=BD+DE=40
根据勾股定理，A′B=50
因此A、B到水厂距离和最小为50千米
总费用为：50×3=150（万元）