Question

1道数学题的详解，急求！！！！！！！

已知锐角三角形ABC中，a、b、c分别为∠A、B、C所对的边，若满足（a+b+c）（b+c-a）=3bc。（1）求∠A；（2）求cosB+cosC的取值范围。

Answer 1

（1）
先把(a+b+c)(b+c-a)=3bc
整理为b2+c2-a2=bc
所以根据余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/2bc
即cosA=1/2
又因为是锐角三角形 所以∠A为锐角 即∠A为60度
（2）
因为由（1）可知B+C为120度
所以c=120-B
所以等式可变为 cosB+cos(120-B )
即cosB+cos120cosB+sin120sinB
所以cosB的1/2+sinB的2分之跟号3
再化简为cos（B-30）
因为已知锐角三角形ABC中，a、b、c分别为∠A、B、C所对的边
所以B为锐角
所以等式的值为1/2到2分之跟号3 闭区间

Answer 2

解：（1）（a+b+c）（b+c-a）=3bc
所以（b+c）*（b+c）－a^2=3bc
即b^2+c^2-a^2=bc
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2
所以∠A=60度
（2）
cosB+cosC＝（a^2+c^2-b^2)/(2ac)+（a^2+b^2-c^2)/(2ab)=（a^2b+c^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3)/(2abc)=(a^2(b+c)+bc(b+c)-(b^3+c^3))/(2abc)=(a^2(b+c)+bc(b+c)-(b+c)*(b^2+c^2-bc))/(2abc)=(b+c)*(a^2+bc-b^2-c^2+bc)/(2abc)=(b+c)*(a^2+2bc-(b^2+c^2))/(2abc)
又因为b^2+c^2-a^2=bc
所以b^2+c^2＝bc+a^2
所以 cosB+cosC＝(b+c)*(a^2+2bc-bc-a^2))/(2abc)=(b+c)/(2a)

Answer 3

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
b2+c2-a2=bc
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
cosA=1/2
因为是锐角三角形 所以∠A为锐角 即∠A为60度

Answer 4

等式变形得cosA=(b平方+c平方-a平方）÷2bc=1/2,A=派/3