Question

关于圆的高一数学题

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程

Answer 1

1）证：圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的半径R=5.圆心为C(1,2)
直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由于方程组
x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.
所以对于一切实数m，x=3，y=1都是直线方程的解，就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A（3，1）
由于(3-1)^2+(1-2)^2=5<25,所以点A到圆心C的距离|AC|<5=R，因而点A（3,1)在圆C内，所以不论m为何值直线L都与圆相交。
2）经过圆C内的定点A的弦中，以经过点A并且垂直于半径CA的弦为最短，由于k（CA）=(1-2)/(3-1)=-1/2，所以k=2
因此最短弦的方程是y-1=2(x-3)--->2x-y-5=0.