Question

一道高一关于圆的数学题

已知点p（2,0）及圆C x²+y²-6x+4y+4=0
(1).若直线L过点P且与圆C的距离为1，求L方程
(2).设过点P的直线L1与圆C交于M,N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程
(3).设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数a使过点P的直线L2垂直平分弦AB？若存在求出a，若不存在，说明理由。

Answer 1

你好！
（1）∵圆方程x²+y²-6x+4y+4=0
∴圆心C为（3，-2）R=3

由直线L过P（2，0）点得，
当直线L斜率不存在时，直线L的方程为X=2
当直线L斜率存在时，设L的方程为Y=K（X-2）
由点到直线的距离为1，可以得到方程的斜率K=-3/4
直线方程为3X+4Y-6=0
综上所述，直线L的方程为X=2或3X+4Y-6=0

（2）设圆Q的圆心Q为（m,n）即为线段MN的中点
由题意可得直线CQ垂直平分线段MN，且C（3，2）P（2，0）
根据两直线垂直，直线L1的斜率与直线CQ的斜率之积为－1，可得方程m²+n²＋2n-5m+6=0；
∵点Q平分线段MN
∴MQ=1/2MN=2
又∵MC=R=3
∴CQ=5^1/2
根据两点间的距离可得方程m²+n²＋4n-6m+8=0；
综上两个方程，可得n=0，m=2 即圆心Q为（2，0）即P点
所以以直线MN为直径的圆Q的方程为 (x-2)²+y²=4
（3）若存在实数a
设A（X1,Y1）B(X2,Y2)
∵直线ax-y+1=0与圆C交与A，B两点
∴所以得方程 （1+a²）x²-(6-6a）x+9=0 Δ>0
得到a<0
∵因为过点P（2，0）的直线L2垂直弦AB
∴得到直线L2的方程为：aY+X-2=0
X1+X2=(6-6a）/（1+a²）,Y1+Y2=(6a-6a²）/（1+a²）+2
∵直线L2平分弦AB
∴直线L2过弦AB的中点(（X1+X2）/2,(Y1+Y2)/2 )
把点带入直线L2方程得a=1/2
∵a<0,所以a=1/2不成立
所以不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线L2垂直平分弦AB。
希望能帮助你

追问

早知道有查得到，就不来问了，还是谢谢你。