Question

高一数学圆的题一道

题见图已知圆C过O（0，0），A（1，3），B（4，0），若直线x+2y+m=0与圆C相交与M、N两点，且角MON=60`，求m的值

Answer 1

三点可求圆方程(x-2)^2+(y-1)^2=5

角MON=60度 即弧MN的度数为60，设圆心为P，则角MPN为120°，过P向MN做垂线可知垂线段长度为（根5）/2，又因为圆心坐标为（2,1），由点到直线距离公式可求得m=-1.5

Answer 2

易知，圆心的横坐标一定为2，由此容易求出圆方程：（x-2）^2+(y-1)^2=5。设圆心为点Q(2,1)。
因为MON=60，所以MQN=120。
再由圆的半径为根号5，画图易知圆心到直线MN的距离为2分之根号5。所以：m=-1.5。

Answer 3

设圆心坐标Oo（x，y），由于圆心到O，A，B的距离相等得方程x^2+y^2=(x-1)^2+(y-3)^2;x^2+y^2=(x-4)^2+y^2.解值得x=2，y=1.
即Oo(2,1).所以圆的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=5.
由角MON=60'得角MOoN=120’（因为对于弧MN圆周角是圆心角的一半）则在等腰三角形MOoN中易得Oo到直线MN的距离为(5^(1/2))/2然后利用点到直线的距离公式可以列方程|2+2*1+m|/((1+2^2)^(1/2))=(5^(1/2))/2解之得m=-3/2（舍）或-13/2.由于不便于在电脑上画图，请见谅！