Question

又一道简单的数学题- - 跟圆有关（高一）

①已知线段AB的端点B（4,6），端点A在圆（x-4）²+y²=100上移动。
(1)若线段AB的中点为M，那么点M的轨迹C是什么曲线？
②（2）若直线L：mx-y+1-m=0， 求直线L被曲线C截得的最长和最短的弦的长以及此时m 的值
③其实就是第一题不会写 顺便问一下

假如一个点满足（a+3，a-5）呢么这个点的集合的方程是什么

如果一个点满足（4+a/2,6+b/2） 且有 （a-4）²+b²=100呢么这个点的集合的方程是什么

这三个（①②③）答对一个追加5分 3个全追加20分 （强调过程）

谢谢大家

Answer 1

解：1.

依题意设M（x,y）A（x1,y1）

则有如下关系(x1+4)/2=x   (y1+6)/2=y 

故x1=2x-4  y1=2y-6 又点A在曲线上 ∴(2x-8)^2+(2y-6)^2=100

化简后有(x-4)^2+(y-3)^2=25 显然为圆心(4,3)半径为5的圆

2.注意直线L的方程化简得y=m(x-1)+1 发现直线L横过定点（1,1）

数形结合，有  显然是垂直于直径时最短，为直径时最长，∵m为直线斜率  显然点O到定点的距离为√13  利用垂径定理求出最短弦长为2√（25-13）=4√3  最长弦长为10 最长时m=(3-1)/(4-1)=2/3 最短时由于垂直关系故此时m=-3/2

Answer 2

1.椭圆

Answer 3

①设A（4+10cosα，10sinα），
则AB中点M坐标为（x，y），则有x=（4+4+10cosα）/2=4+cosα，y=（6+10sinα）/2）=3+sinα，可知（x-4）²+（y-3)²=5²cos²α+5²sin²α=25，
M轨迹是以（4，3）为圆心，5为半径的圆。
②如果一个点满足（4+a/2,6+b/2） 且有 （a-4）²+b²=100呢么这个点的集合的方程是什么→这个就是①的意思是以（4，3）为圆心，5为半径的圆上的点的集合。