Question

一道好像比较简单的高一数学题,关于圆的

设平面直角坐标系XOY中，二次函数f(x)=x^2—4x+2b(x属于R)的图像与两坐标轴有三个交点经过这三点的圆记为C.求：
（1）求实数b的取值范围
（2）求圆C的方程

Answer 1

（1）f(x)=x^2-4x+2b=(x-2)^2+2b-4
x=0时，y=2b；y=0时，x=2±√(4-2b)
x有两个不同的解，必须保证△=16-4*2b=8(2-b)>0，即b<2
∴b的取值范围为b<2
（2）设圆方程为(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
经过上述三点，即(0,2b),(2+√(4-2b),0),(2+√(4-2b),0)
代入圆方程，得
m^2+(2b-n)^2=r^2 (1)
[2+√(4-2b)-m]^2+n^2=r^2 (2)
[2-√(4-2b)-m]^2+n^2=r^2 (3)
(2)-(3)，得 8√(4-2b)-4m√(4-2b)=0 => m=2
(2)+(3)，得 8+8-4b-8m+2m^2+2n^2=2r^2 => 8-2b-4m+m^2+n^2=r^2 (4)
(4)-(1)，得 8-2b-4m+4b^2+4bn=0
代入m=2，解得n=1/2-b
将m,n代入(1)，解得r^2=9b^2+3b+15/4
∴圆C的方程为 (x-2)^2+(y+b-1/2)^2=9b^2+3b+15/4

Answer 2

1.二次函数f(x)=(x-2)^2+2b-4,是关于x=2对称，开口向上，顶点(2,2b-4)。要使它与两坐标轴有三个交点，那么顶点需位于x轴下方，即2b-4<0,b<2;
2.分别令x=0和f(x)=0，求出二次函数与两坐标轴的三个交点，用三点式（当然是含b的参数方程）

Answer 3

（1）函数是开口向上的，其对称轴为x=2，要使它与两坐标轴有三个交点，则必然要有f（2）<0即顶点在x轴下方，f（2）=8-8+2b<0，b<0.且△=16-4*2b=8(2-b)>0得b<2,综合得b<0.
（2）设圆的方程为(x-m)^2+(y-n)^2=r^2.
令f（x）=0,则解得x=2±√(4-2b),令x=0,得y=2b，将三个点代入圆的方程即可求得圆的方程为
(x-2)^2+(y+b-1/2)^2=9b^2+3b+15/4。