Question

高中数学参数方程

1.如果实数x、y满足等式 x^2+y^2=2x+4y，求2x-y的最小值。（它有最大值吗？过程）
2.在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P是三角形ABC的内切圆上任意一点，求PA^2+PB^2+PC^2的最小值.

Answer 1

1
x^2+y^2=2x+4y
(x-1)^2+(y-2)^2=5
参数方程：x=√5cost+1,y=√5sint+2
2x-y
=2(√5cost+1)-√5sint+2
=2√5cost-√5sint,假设tanp=2
=5sin(p-t)
p-t=-90,最小-5
p-t=90,最大5
2)
内切圆半径r
r=AC*BC/(AB+AC+BC)=1
以C为原点，两条直角边AC,BC为X，Y正半轴，建立平面直角坐标系，C(0,0),C(3,0),B(0,4),圆(x-1)^2+(y-1)^2=1
圆的参数方程：
x=cost+1,y=sint+1
PA^2+PB^2+PC^2
=(cost+1)^2+(sint+1)^2+(cost+1-3)^2+(sint+1-0)^2+(cost+1)^2+(sint+1-4)^2
=-2sint+20
18<=PA^2+PB^2+PC^2<=22
PA^2+PB^2+PC^2的最小值18

Answer 2

唉，我来回答吧，分再给多点就好了。。。

1.配方：（x-1）^2+(y-2)^2=5
令x=1+√5sinθ y=2+√5cosθ
则2x-y=5（2√5/5sinθ-√5/5cosθ）=5sin（θ-γ）>=-5 tanγ=2
2.以O为圆心，AC为x轴，CA为y轴，则B（0,4）A（3,0）
内切圆方程：（x-1）^2+(y-1)^2=1
同样：令x=1+sinθ y=1+cosθ
则PA^2+PB^2+PC^2=（1+cosθ）^2+(1+sinθ）^2+(1+sinθ）^2+(cosθ-3)^2+(1+cosθ)^2+(sinθ-2)^2=20-20cosθ>=18