Question

已知集合A={f(x)| f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R}

1）设g(x)=sin πx/3,判断g(x)与A关系，理由？
2）A中元素是否都为周期函数？证明
3）A中元素是否都为奇函数？证明

Answer 1

1)g(x)∈A
g(x)+g(x+2)=sinπx/3+sin（πx/3+2π/3)=2sin(πx/3+π/3)cos(π/3)=sin(πx/3+π/3)=g(x+1)
即g(x)∈A

2）f(x)+f(x+2)=f(x+1)
f(x+1)+f(x+3)=f(x+2)
相加得 f(x)+f(x+3)=0
f(x)=f(x+6)
A中元素是周期函数

3）不是,h(x)=cosπx/3, h(x)+h(x+2)=cos(πx/3)+cos(πx/3+2π/3)=2cos(πx/3+π/3)cos(π/3)=cos(πx/3+π/3)=h(x+1)
h(x)∈A,但是 h(x)是偶函数