Question

经过点M（1,1）做圆x2+y2=4的两条互相垂直的弦AB,CD,则AB+CD的最大值为

Answer 1

圆x^2＋y^2＝4的圆心为原点O、半径为2.
∵OM＝√［（0－1）^2＋（0－1）^2］＝√2＜2,∴点M在⊙O内部.

一、当AB、CD中的一者为直径时,不失一般性地设AB为直径,则：
　　AB＝4、CM＝CD/2.
　　由勾股定理,有：CM^2＋OM^2＝OC^2,∴（CD/2）^2＋2＝4,
　　∴CD＝2√2.
　　∴此时,AB＋CD＝4＋2√2.

二、当AB、CD都不是直径时,令AB、CD的中点分别为E、F.则有：OE⊥EM、OF⊥FM.
　　由OE⊥EM、OF⊥FM、EM⊥FM,得：OEMF是矩形,∴OE＝FM.
　　∵同圆中,弦心距越小,弦越大,∴要使AB＋CD最大,就需要（OE＋OF）最小,
　　∴需要（OF＋FM）最小.
　　由勾股定理,有：OF^2＋FM^2＝OM^2＝2,∴（OF＋FM）^2－2OF×FM＝2,
　　∴（OF＋FM）^2＞2,∴OF＋FM＞√2.

　　而当AB、CD一者为直径时,显然有：OE＋OF＝OM＝√2.
　　∴当AB、CD都不是直径时,（OF＋FM）不是最小的,即（AB＋CD）不是最大的.

综上一、二所述,得：满足条件的（AB＋CD）的最大值是（4＋2√2）.