Question

平行于同一条直线的两条直线平行是公理吗

Answer 1

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行不是公理，而是平行公理的推论，意思是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

希尔伯特的《几何基础》的五组公理之一：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。

平行公理推论的证明

证明：平行于同一直线的两直线平行。

假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b，a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出：

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

所以a‖b，a‖c，所以 b‖c 。

所以 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。