Question

高一数学 函数问题

设函数y=f(x)定义在R上，对于任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)×f(n),且当x>0时，0<f(x)<1
（1） 求证：对任意实数R都有f(x)>0
(2)判断并证明：函数f(x)的单调性
（3）设集合A={x|f(x^2-2x)×f(8-4x)>1},集合B={x|f(x^2-3ax)×f(3a^2-ax)>1,a∈R},若A∩B=Φ,求a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=[f(x/2)]^2>=0;
f(0+x)=f(0)f(x),所以f(0)=1;
而f(0)=f(-x+x)=f(-x)*f(x);
f(-x)=1/f(x);
所以不管x>0,或x<0,或x=0,都有f(x)>0
(2)f(x)=f(y)*f(x-y),若x>y,则0<f(x-y)<1,所以f(x)<f(y),即f单调减
(3)A={x|f(x^2-6x+8)>1}={x|x^2-6x+8<0}=(2,4)
B={x|f(x^2-4ax+3a^2)>1}=(3a,a),a<0 (a,3a),a>0
而A交B=0,所以a<0或0<a<=4/3或a>=4