Question

设f（x）在x=0处可导,且f（x）为偶函数求证f’（0）=0

Answer 1

右导数
lim(△x→0+)[f(0+△x)-f(0)]/(△x)
=lim(△x→0+)[f(△x)-f(0)]/(△x)
左导数
lim(△x→0-)[f(0+△x)-f(0)]/(△x)
代换△x'=-△x
=lim(△x'→0+)[f(-△x')-f(0)]/(-△x')
[f(x)偶函数]
=-lim(△x'→0+)[f(△x')-f(0)]/(△x')
f(x)在x=0处可导
则左导数=右导数=导数
lim(△x→0+)[f(0+△x)-f(0)]/(△x)=lim(△x→0-)[f(0+△x)-f(0)]/(△x)
即2lim(△x→0+)[f(△x)-f(0)]/(△x)=0
lim(△x→0+)[f(△x)-f(0)]/(△x)=0
f'(0)=lim(△x→0+)[f(△x)-f(0)]/(△x)=0