Question

一道数学证明题

已知a+b+c=0 a b c 均大于0 求证√4a+1 +√4b+1 +√4c+1≤√21

Answer 1

√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)显然大于0
平方
=4a+1+4b+1+4c+1+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)
=4(a+b+c)+3+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)
=7+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)

因为2xy<=x^2+y^2
所以2√(4a+1)*√(4b+1)<=4a+1+4b+1
2√(4a+1)*√(4c+1)<=4a+1+4c+1
2√(4b+1)*√(4c+1)<=4b+1+4c+1
所以2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)<=8(a+b+c)+6=8+6=14
所以
[√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)]^2<=7+14=21
所以√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)<=√21

Answer 2

用基本不等式

Answer 3

复数吗
有点难度

Answer 4

条件是a+b+c=1吧
然后：由（a+b+c）^2<=3(a^2+b^2c^2) （乘开配方易得）

[√（4a+1） +√（4b+1) +√(4c+1)]^2<=3(4a+1+4b+1+ac+1)=21

√（4a+1） +√（4b+1) +√(4c+1)≤√21