Question

【n维向量】29、向量组的极大无关组与秩的定义

Answer 1

设向量组T的部分向量组 满足
(i) 线性无关；
(ii)T中向量均可由 线性表示。或T中任一向量 线性相关。则称 是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

极大无关组的含义有两层：1无关性；2.极大性。
注：
1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
2.向量组与其极大无关组等价；
3.同一个向量组的极大无关组不惟一，但它们之间是等价的。

例1：求向量组的极大无关组

解：

线性相关。

但 线性无关， 是一个极大无关组；
也线性无关， 也是一个极大无关组；
任两个都是极大无关组。

极大无关组是不惟一的，所含个数是否相同？

定理1：设有两个n维向量
　　　（Ⅰ）
　　　（Ⅱ）
若向量组（Ⅰ）线性无关，且可由向量组（Ⅱ）线性表示，则

证：设

可由 线性表示，即 ,后面的乘以 再加到 这行即化零了，其他行同理。

推论1：若向量组 可由向量组 线性表示，且r>s，则向量 线性相关。

推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。

证明：
①
②

使用定理1证明，第①组向量线性无关，且可由第②组向量线性表示，所以 。反过来，第②组向量线性无关，且可由第①组向量线性表示，所以 。综上， 。

一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。

向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为 .

注：
（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
（2）向量组线性无关 秩=向量个数。

定理3：若 可由 线性表示，则

证明：
不妨设 的极大无关组为
设 的极大无关组为

可由 线性表示，而 可由 线性表示，而 可由 线性表示，所以 可由 线性表示，所以

复习:
[ 设有两个n维向量组

若向量组(1)中每个向量都可由向量组(2)线性表示，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表示；若向量组(1)与向量组(2)可以互相线性表示，则称向量组(1)与向量组(2)等价。 ]

推论：等价的向量组有相同的秩。
必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。

矩阵等价 矩阵的秩相同,但是向量组不一样，等价可推出等秩，但等秩推不出等价。

但是 与 不等价。

向量组的等秩加上什么条件才会等价？？

例2：设向量组 可由向量组 线性表示，求

解：两个向量组等价 等秩，向量组 是线性无关的， ，所以

例3：设有两个n维向量组 与 ，若 线性无关且

证明：若 ,则 线性无关。

解：由题 的向量组等于 的向量组乘以另一个向量组，所以 可由 线性表示。 ， 可由 表示。 与 等价。等价向量组有相同的秩， 的向量组线性无关，秩为s,则 的向量组的秩也为s。所以 线性无关。