Question

已知函数f(x)＝2cos2(x−π6)+2sin(x−π4)cos(x−π4)−1．

Answer 1

解题思路：（1）通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称轴方程求出函数的图象的对称轴方程；
（2）通过x∈，求出，利用函数的单调性求出函数在上的值域，即可．

（1）∵f(x)＝2cos2(x−
π
6)+2sin(x−
π
4)cos(x−
π
4)−1
=cos(2x−
π
3)+2sin(x−
π
4)cos(x−
π
4)
=
1
2cos2x+

3
2sin2x+sin(2x−
π
2)
=
1
2cos2x+

3
2sin2x−cos2x
=sin(2x−
π
6)…（5分）
∴周期 T＝
2π
2＝π．由2x−
π
6＝kπ+
π
2，得 x＝
kπ
2+
π
3（k∈Z）
∴函数图象的对称轴方程为x＝
kπ
2+
π
3（k∈Z）…（7分）
（2）∵x∈[−
π
12，
π
2]，∴2x−
π
6∈[−
π
3，
5π
6]，
又∵f（x）=sin(2x−
π
6)在区间[−
π
12，
π
3]上单调递增，
在区间[
π
3，

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．

考点点评： 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，以及函数的闭区间上的最值的应用，考查计算能力，高考常考题型．