Question

已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=S2+12．

Answer 1

解题思路：（1）直接利用a 3=4，S 4=s 2+12，以及等比数列的性质，得到关于首项和公比的等式，即可求出首项a 1及公比q的值；
（2）利用（1）的结论，求出数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列{b n}的前n项和T n．
（3）利用作差法，即可证明结论．

（1）由已知S4=S2+12得S4-S2=a3+a4=12
又由a3=4，∴a4=8
∴等比数列的公比q=2（2分）
∴an＝a3•qn−3＝4×2n−3＝2n−1（4分）
（2）bn＝(2n+2)an＝(2n+2)•2n−1＝(n+1)2n（5分）
∴Tn＝2•2+3•22+4•23+…+(n+1)•2n（6分）
∴2Tn=2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+（n+1）•2n+1，（7分）
∴−Tn＝2•2+22+23+…+2n−(n+1)•2n+1（8分）
=2•（2n-1）+2-（n+1）•2n+1=-n•2n+1（9分）
∴Tn＝n•2n+1（10分）
（3）证明：Cn＝
2n+1
an＝
2n+1
2n−1（11分）
∵n∈N*
∴1-2n＜0，2n＞0（12分）
∴Cn+1−Cn＝
2n+3
2n−
2n+1
2n−1＝
1−2n
2n＜0，
∴Cn+1＜Cn（14分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式，以及错位相减求和，考查不等式的证明，属于中档题．