Question

一道高三数学题

已知函数F（x）=|x|÷(x+2)
请用导数知识求F（x)的值域

Answer 1

解：先看定义域（-∞，-2）∪（-2，+∞）
去绝对值
x>=0时 f(x)=x/(x+2)=1-2/(x+2)
f'(x)=(x+2-x)/(x+2)方=2/（x+2)方 恒大于零
所以f(x)在（0，+∞）单调递增
f(0)=0
但在[0，+∞）上的值域并不是[0,+∞）
看2/（x+2）>0
所以1-2/（x+2）是小于1的
所以x>=0,值域[0,1）
x<0且x≠-2时 f(x)=-x/(x+2)=2/（x+2）-1
f'（x）=-2/(x+2)方 恒小于零
所以f(x)在(-∞,-2),(-2,0)上单调递减
注意不是连续函数
当x<-2，2/（x+2）<0
f(x)<-1
所以x<-2,值域（-∞，-1）
当-2<x<0, 2/(x+2)>1
f(x)>0
所以-2<x<0,值域（0，+∞）
综上所述 值域（-∞，-1）∪[0,+∞）

Answer 2

分段去求分为x>=0和x<0两种情况
x<0
函数为
f(x)=-x/(x+2)
再求出其在x小于零阶段的值域
x>=0
函数为
f(x)=x/(x+2)
求出其在x大于等于零阶段的值域就成了

Answer 3

不该用导数
直接分类讨论