Question

数学题（二次函数）

已知二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=-bx,其中a,b,c满足a>b>c，a+b+c=0.（a,b,c为实数）
（1）求证两个函数的图像交于不同的两点A，B。（这个已经会做了）
（2）求线段AB在x轴上的射影CD的长的取值范围。

第二小题，给我点思路，我现在用公式法求出两个点的横坐标，相减的绝对值不知道该如何下手 谢谢！！

Answer 1

(2)设ax²+bx+c=-bx，该方程可化为：
ax²+2bx+c=0
设上述方程的两根分别为x1，x2
则x1+x2=-2b/a;x1*x2=c/a
射影CD=|x1-x2|=开方{(x1+x2)²-4x1*x2}=2*开方{b²/a-4c/a}
又a+b+c=0，则b=-a-c
所以CD=2*开方{1+c/a+c²/a²}=CD=2*开方{(1+c/2a)²+3/4}
讨论a，c大于0或小于0：
①若a>0,则a=-b-c<0,c=-a-b<0即b+c＞0，
又a>b>c，则b-c>0,则2b>0,c<0;
因此a>0,则c/a<0
又设a/c=x<0,则函数y=x²+x+1的值域为y≥3/4,从而CD≥开方(3)
②若a<0,则a=-b-c>0即b+c<0
又a>b>c，则b-c>0,从而c<0，b=-a-c>0 也即b>0>a
显然这与a>b>c矛盾
所以a<0不符合题意
综上，射影CD的长的取值范围为CD≥开平方(3)

Answer 2

联系y=ax2+bx+c y=-bx
得ax2+2bx+c=0

设A、B两点x坐标为m、n
即m、n为上述二次方程的两个根
不妨设m>n

由韦达定理
m+n=-2b/a ==> (m+n)2=4b2/a2
mn=c/a

即
m2+2mn+n2=4b2/a2
4mn=4c/a

两式相减得(m-n)2=4(b2-4ac)/a2
又由a+b+c=0得c=-a-b
故b2-4ac=b2-4a*(-a-b)=b2+4ab+4a2=(b+2a)2

综上可得m-n=2(b+2a)/a=2b/a+2

由a>b>c与a+b+c=0知a>0
若b>0，则 1<b/a<正无穷
若b<0，则 负无穷<b/a<-0.5
(其中b/a=1时，b无限接近于a，b即约等于a；b/a=-0.5时,b无限接近于c)

故m-n的取值范围，即CD长的取值范围为(负无穷，1)和（4，正无穷）

额，总算解完了……
汗一个，有很长一段时间没做题，脑袋迟钝了点，不知道做对了没有。

Answer 3

既然你已经解出一半，那我就写出后一半了。
绝对值x1-x2=-4c/a=4（1+b/a） 其中-1<b/a<1代入得
CD的取值范围为（0,8）