Question

高一数学函数

试用函数单调性的定义判断函数f(×）=2×/×-1在区间（0，1）上的单调性。
（主要问题是化简不到底。不会化。）

Answer 1

证明：由f(x)=2x/(x-1)=(2x-2+2)/(x-1)=2+2/(x-1)
定义证： 设X1 、X2为（0,1）区间上任意两个数，且x1>x2
则f(x1)-f(x2)=2+2/(x1-1)-{2+2/(x2-1)}
化简：即f(x1)-f(x2)=2（x1-x2）/{（x1-1）（x2-1）}
因为x1>x2，x1-1<0,x2-1<0所以
f(x1)-f(x2)=2（x1-x2）/{（x1-1）（x2-1）}<0
即对于任意的X1 、X2属于区间（0,1），都有f(x1)-f(x2)<0

故f（x）在（0,1）为减函数

Answer 2

f(x)=2x/(x-1)=(2x-2+2)/(x-1)=2+2/(x-1)
作图可知，f(x)在(0,1)上递减

Answer 3

f(×）=2×/×-1
f(×）=(2×-2+2)/×-1
f(×）=2+2/×-1
令x-1=t t在区间（-1，0）
f（t）=2+2/t
很容易判断为减函数

Answer 4

f(×）=2×/×-1=[2(x-1)+2]/(x-1)=2+2/(x-1)
任取x1，x2，且0<x1＜x2<1
则-1<(x1-1)<(x2-1)<0
1/(x1-1)>1/(x2-1)
2+2/(x1-1)>2+2/(x2-1)即f(×1）>f(×2）
故f(x)在区间（0，1）单调递减