Question

已知函数 f(x)＝ln(2ax+1)+x33−x2−2ax（a≥0）．

Answer 1

解题思路：（1）求出函数f（x）的导函数，由x=2为f（x）的极值点，所以f ′（2）=0，由此列式求出实数a的值；
（2）根据函数y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，说明当x∈[3，+∞）时函数有意义，据此判断出a≥0，根据（1）中求出的函数的导函数，由导函数大于0和小于0在[3，+∞）上都有解既能说明y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数；然后由导函数大于0和小于0在[3，+∞）上都有解求出a的范围取交集；
（3）把代入函数解析式，整理方程，分离出变量b，问题转化为求函数值域问题．

（1）由函数 f(x)＝ln(2ax+1)+
x3
3−x2−2ax
得：f′(x)＝
2a
2ax+1+x2−2x−2a
=
2a+2ax3+x2−4ax2−2x−4a2x−2a
2ax+1
=
x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]
2ax+1．
因为x=2为f（x）的极值点，所以f′（2）=0．
即[2a/4a+1−2a＝0，解得：a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．
（2）由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于f′(x)＝
x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]
2ax+1]，
所以，令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）．
则g（x）＞0与g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的对称轴为x＝1−
1
4a＜1，
因此只要g（3）＜0即说明g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a2-6a-1＞0，解得：a＜
3−
13
4或a＞
3+
13
4．
因为a≥0，所以a＞
3+
13
4．
综上所述，a的取值范围是（
3+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查了利用导函数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数学转化思想，函数在给定的区间上不是单调函数，说明函数的导函数在该区间上不同号，此题有一定难度，属难题．