Question

∫(x²)/(x^2-2x+5)dx

Answer 1

∫[x²/(x^2-2x+5)]dx = ∫[(x²-2x+5)+(2x-2)-3]/(x^2-2x+5)]dx
= ∫[1+(2x-2)/(x^2-2x+5)]dx - 3∫d(x-1)/[(x-1)^2+4)]
= x + ln(x^2-2x+5) - (3/2)arctan[(x-1)/2] + C

Answer 2

😳问题: 计算不定积分 ∫ [x^2/(x^2-2x+5)] dx

👉什么是不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分

需要不定积分公式

1. 『例子一』 ： ∫ a dx = ax + C  ; 其中a是常数

2. 『例子二』 ： ∫ x^a dx = [1/(a+1)]x^(a+1) + C  ; 其中a是常数， a≠1

3. 『例子三』 ： ∫ dx/(1+x^2) = arctanx + C  

4. 『例子四』 ： ∫ dx/x = ln|x| + C  

如何计算∫ [x^2/(x^2-2x+5)] dx

👉回答

∫ [x^2/(x^2-2x+5)] dx

• 把分子的阶数降低于分母

=∫ [ 1+  (2x-5)/(x^2-2x+5) ] dx

• 利用 ∫ dx = x +C
  

=x+∫ [(2x-5)/(x^2-2x+5) ] dx

• 把分子 2x-5 变成 (2x-2) -3

=x+∫ [(2x-2)/(x^2-2x+5) ] dx -3∫ dx/(x^2-2x+5) 

• 利用 d(x^2-2x+5) = (2x-2) dx
  

=x+∫ d(x^2-2x+5)/(x^2-2x+5)  -3∫ dx/(x^2-2x+5) 

• 利用 ∫ du/u = ln|u| + C
  

=x+ln|x^2-2x+5|  -3∫ dx/(x^2-2x+5) 

• 配方分母
  

=x+ln|x^2-2x+5|  -3∫ dx/[ (x-1)^2 +4]

=x+ln|x^2-2x+5|  -(3/4)∫ dx/{ 1+[(x-1)/2]^2 }

=x+ln|x^2-2x+5|  -(3/2)∫ d[(x-1)/2]/{ 1+[(x-1)/2]^2 }

• 利用 ∫ du/(1+u^2) =arctanu +C

=x+ln|x^2-2x+5|  -(3/2)arctan[(x-1)/2] +C

😄: 结果 : ∫ [x^2/(x^2-2x+5)] dx =x+ln|x^2-2x+5|  -(3/2)arctan[(x-1)/2] +C