Question

幂级数和傅里叶级数的逐项求导和逐项积分区别和联系，能举例说明吗？

Answer 1

幂级数和傅里叶级数的求导和积分有以下联系:
1. 幂级数的每一项都可以求导和积分,形式如下:
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...
f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ...
∫f(x)dx = a0x + (a1/2)x2 + (a2/3)x3 + ...
2. 傅里叶级数的每一项在时间域上可以求导,但仅仅是形式项可以积分:
f(x) = A0 + A1cos(ωx) + A2cos(2ωx) + ...
f'(x) = -A1ωsin(ωx) - 2A2ωsin(2ωx) - ...
∫f(x)dx = A0x + (A1/ω)sin(ωx) + (A2/2ω)sin(2ωx) + ...
其中只有A0项可以直接积分,其他的sin和cos项是无法积分的。
例如:
f(x) = 3 + 2x + x2 (幂级数)
f'(x) = 2 + 2x (逐项求导)
∫f(x)dx = 3x + x2 + (x3)/3 (逐项积分)
f(x) = A0 + A1cos(ωx) + A2cos(2ωx) (傅里叶级数)
f'(x) = -A1ωsin(ωx) - 2A2ωsin(2ωx) (逐项求导)
∫f(x)dx = A0x + (A1/ω)sin(ωx) + (A2/2ω)sin(2ωx) (只有A0项可以积分)
此外,傅里叶级数是通过适当变换从幂级数得来的,两者之间存在一定的对应关系。求导和积分能力的不同体现在这种对应关系中。
继续举例说明:
1. 假设 f(x) = 3 + 2x + x2 (幂级数)
那么傅里叶变化是:
F(ω) = 3δ(ω) + 2δ(ω - ω0) + δ(ω - 2ω0) (傅里叶级数)
这两者的对应项如下:
三 3δ(ω)
项 对应
二 2δ(ω - ω0)
项 对应
一 δ(ω - 2ω0)
项 对应
2. 如果我们对f(x)进行傅里叶变换,得到:
F(ω) = 3 + 2e-jω + e-2jω
那么通过适当变换,可以将其转换回幂级数形式:
f(x) = 3 + 2cos(ω0x) + cos(2ω0x)
对应项如下:
3 3
项 对应
2e-jω 转换为 2cos(ω0x)
项 对应
e-2jω 转换为 cos(2ω0x)
项 对应
3. 如果我们对f(x)作傅里叶变换得到:
F(ω) = 3 + j2 + j (等号两边同时加上量纬j)
那么通过去除量纬j,可以转换回幂级数形式:
f(x) = 3 + 2x + x2
对应项如下:
3 3
项 对应
j2 转换为 2x
项 对应
j 转换为 x2
项 对应
综上, 幂级数和傅里叶级数之间的对应关系体现在求导和积分能力的不同上。通过合适的变换,这两种级数可以相互转换。这体现了求导和积分对于 describing 信号有着不同的作用。