Question

偶函数图象关于什么对称

Answer 1

这是由偶函数的定义决定的。如果函数f(x)在定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么就称这个函数f(x)为偶函数。那么它怎么就关于y轴对称了呢？我们可以通过图像观察得知。然而这其实并不科学，想要确定偶函数关于y轴对称，还是需要一个合理的证明过程的。接下来老黄就给大家组织一下这个证明过程。

问题是这样的：设f(x)是定义在D上的偶函数，证明f(x)的图像关于y轴对称。

证明：记f(x)的图像为C，在C上任取一点A(-x0,f(-x0))，则-x0∈D, 根据偶函数的定义，f(-x0)=f(x0)，x0∈D, 记点B(x0,f(x0))，则点B也在C上。

直线AB的解析式可表示为：y=f(x0)，则AB与y轴垂直，且点A和点B到y轴的距离都是|x0|，即y轴是线段AB的垂直平分线，因此A，B关于y轴对称。

由A点的任意性可知，f(x)的图像关于y轴对称，得证！

也可以通过在图像上任取一点，根据偶函数的定义，证明这一点关于y轴的对称点也在函数的图像上，同样可以证明偶函数的图像关于y轴对称了。