Question

一道高中数学题求解！！

问题如下：
已知函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）。
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（12）。

写清解题过程！！！！
不会的，别废话！！！

Answer 1

1.令Y=-X，得到f(0)=f(x)+f(-x)
令X=Y=0,得到f(0)=2f(0),f(0)=0
所以f(X)+f(-X)=0
f(x)为奇函数
2.f(12)=f(6)+f（6）
=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)
=4f(3)
由（1）得f(x)=-f(-x)
f(3)=-f(-3)=-a
f(12)=-4a

Answer 2

(1):令 Y=-X得：f（0）=f（x）+f（-x）
令：X=0,Y=0.得f（0）=0
得f（x）=-f（-x），故为奇函数。

（2）：f(12)=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3);
f(-3)=-f(3)=a;所以f(3)=-a;
所以f(12)=-4a;

Answer 3

wa

Answer 4

因为函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=-y，f（0）=f（x）+f（-x）（1）
令y=0，f（x）=f（x）+f（0） （2）
（1）+（2），f（x）+f（-x）=0
f（x）是奇函数

f（-3）=f（-15+12）=f（-15）+f（12）
f（-15）=f（-3）+f（-12）=……=5*f（-3）=5a
f（12）=-4a

Answer 5

(1):证明：令x=y=0 则f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0）=0；令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以-f(x)=f(-x),即f(x)为奇函数
（2）：f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a,f(12)=f(9)+f(3);f(9)=f(6)+f(3);f(6)=f(3)+f(3);由此可以推出f(12)=4f(3)=-4a

Answer 6

（1）：令y=x=0则f（0）=2f（0）所以f（0）=0
令y=-x 所以f（0）=f（x）+f（-x）所以f（x）为奇函数

（2）：因为f（x）为奇函数所以f（3）=f（-3）=-a
令y=x 所以f（2x）=2f（x）
令x=3 所以f（6）=-2a
令x=6 所以f（12）=-4a