Question

4.求微分方程+(dy)/(dx)+2xy=4x⋅e^(-x^2)+的通解。

Answer 1

😳问题 : 求微分方程 dy/dx+2xy=4x⋅e^(-x^2) 的通解

👉微分方程

• 微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

• 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

• 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度

👉微分方程的例子

• 『例子一』 dy/dx = x
  

• 『例子二』 y''-3y'+2y =0
  

• 『例子三』 dy/dx = xsinx
  

👉回答

dy/dx+2xy=4x⋅e^(-x^2) 

• p(x) = 2x

• e^[∫p(x)dx] = e^(x^2)

• 两边乘以 e^(x^2)

e^(x^2).[dy/dx+2xy]=4x

d/dx [ e^(x^2).y] = 4x

e^(x^2).y = ∫ 4x dx

= 2x^2 + C

• 整理方程

y= (2x^2 + C).e^(-x^2)

• 得出结果
  

dy/dx+2xy=4x⋅e^(-x^2) 的通解 y= (2x^2 + C).e^(-x^2)

😄: dy/dx+2xy=4x⋅e^(-x^2) 的通解 y= (2x^2 + C).e^(-x^2)

Answer 2

(dy)/(dx)+2xy = 4x⋅e^(-x^2) 为一阶线性微分方程，通解是
y = e^(-∫2xdx)[∫4x⋅e^(-x^2)e^(∫2xdx)dx + C]
= e^(-x^2)[∫4xdx + C] = e^(-x^2)(2x^2 + C)