Question

∫{0,+∞} x²·e^(- x²

Answer 1

首先由分部积分公式
∫{0,A}
x²·e^(-x²)
dx
=
-1/2·∫{0,A}
x(e^(-x²))'
dx
=
-1/2·A·e^(-A²)+1/2·∫{0,A}
e^(-x²)
dx.
令A
→
+∞,
即得∫{0,+∞}
x²·e^(-x²)
dx
=
1/2·∫{0,+∞}
e^(-x²)
dx.
后者是常用结果∫{0,+∞}
e^(-x²)
dx
=
(√π)/2.
于是∫{0,+∞}
x²·e^(-x²)
dx
=
(√π)/4.
至于如何得到∫{0,+∞}
e^(-x²)
dx
=
(√π)/2,
常用的办法是用二重积分:
∫{0,+∞}
e^(-x²)
dx
=
1/2·∫{-∞,+∞}
e^(-x²)
dx.
(∫{-∞,+∞}
e^(-x²)
dx)²
=
(∫{-∞,+∞}
e^(-x²)
dx)·(∫{-∞,+∞}
e^(-y²)
dy)
=
∫∫{R²}
e^(-x²-y²)
dxdy
=
∫∫{R²}
e^(-r²)
rdrdθ
=
∫{0,2π}
dθ
∫{0,+∞}
re^(-r²)
dr
=
π.
于是∫{0,+∞}
e^(-x²)
dx
=
1/2·∫{-∞,+∞}
e^(-x²)
dx
=
(√π)/2.