Question

一道高二数学不等式题

设a,b,c是不全相等的正数，求证
（1） （a+b)(b+c)(c+a)>8abc

(2） a+b+c>√(ab)+√(bc)+√(ca)

注明：√为根号

Answer 1

(1)
a+b>=2根号ab>0
b+c>=2根号bc>0
c+a>=2根号ca>0
上三式相乘
有
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
a=b=c时取等号
因为abc是不全相等的正数
所以(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
(2)
同样是上面三式相加，并且左右同时除以2
仍然是a=b=c时取等号，这同样不成立
所以a+b+c〉根号ab+根号bc+根号ca

Answer 2

（1）a,b,c都是正数，则
(a+b)大于或等于2√ab；
（b+c)大于或等于2√bc;
(c+a)大于或等于2√ac;
三式相乘。得（a+b)(b+c)(c+a)大于或等于8abc，又a,b,c不全相等，得

（a+b)(b+c)(c+a)>8abc

（2）a,b,c都是正数，则
(a+b)大于或等于2√ab；
（b+c)大于或等于2√bc;
(c+a)大于或等于2√ac;
三式相加， 两边再同时除以2，得到 a+b+c大于或等于√(ab)+√(bc)+√(ca)，又因为a,b,c不全相等，得到a+b+c>√(ab)+√(bc)+√(ca)。

Answer 3

令t=x-2
则x=t+2
原式=((t+2)^2-5(t+2)+7)/t
=(t^2+4t+4-5t-10+7)/t
=(t^2-t+1)/t
=t+1/t-1
=(x-2)+1/(x-2)-1
又x<2
则原式《2-1=1当且仅当x=3或1时等号成立
那么填得空就是有最大值是1

Answer 4

(x-4)2≥0且分母不能为0
所以x≠4
两边去分母不变号
就是（3x-2)(x-2）＜（2x+2)(x-2)
接下去就是很简单的了吧
想复杂呢
就展开了在移项
还有有种就是分类
分x＞2和x＜2的
解就是了
要注意x≠4哦