Question

一道高二数学题（属于不等式范围内的“算术平均数与几何平均数”）。

一段长为 L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

设垂直墙的一边长x米，则平行的长L-2x米
面积x(L-2x)

显然2x>0
L-2x>0
所以√[2x(L-2x)]≤[2x+(L-2x)]/2=L/2
2x(L-2x)≤L²/4
x(L-2x)≤L²/8
当2x=L-2x取等号
所以x=L/4,面积最大=L²/8

Answer 2

设款为x，则长为L-2x，
面积S=(L-2x)x=(L-2x)*(2x)/2
而由基本不等式a+b≧2√ab，得：ab≦(a+b)^2/4
所以：(L-2x)*(2x)≦(L-2x+2x)^2/4=L^2/4
所以：面积S=(L-2x)*(2x)/2≦L^2/8
当L-2X=2x时，取等号，所以x=L/4，则长L-2x=L/2；
所以，当长为L/4，宽为L/2时，有最大面积L^2/8；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 3

设这个矩形的长为x,则宽为(L-x)/2
x/2+(L-x)/2=L/2
菜园的面积=x(L-x)/2=2*x/2(L-x)/2<=2[x/2+(L-x)/2]²/2²=L²/8
当且仅当x/2=(L-x)/2,即x=L/2时，面积取得最大值
这个矩形的长、宽各位L/2，L/4时，菜园的面积最大，最大面积是L²/8

Answer 4

解 因为靠墙
所以只需要取3条边 设其中跟墙相对的一边为X 则另外2边的长为(L-X)/2
面积为：
S=X*(L-X)/2
=-X^2/2+XL/2
=-1/2(X^2-XL+L^2/4)+L^2/4
=-1/2(X-L/2)^2+L^2/4
当X=L/2时 矩形取得最大值L^2/4 m^2
所以长X为L/2 宽为(L-X)/2=L/4菜园面积取得最大L^2/4 m^2

Answer 5

设长x、宽y
x+2y=L
S=xy=(x*2y)/2=[根号(x*2y)]^2/2<=[(x+2y)/2]^2/2=L^2/8
此时x=L/2 y=L/4。