Question

高中数学数列4

(I)an=a^n
(II)a=1/2
求（III）的详解。谢谢！

Answer 1

（1）由题意得(1-a)S(n)=-a[a(n)-1]
则S(n)=a[a(n)-1]/(a-1)
所以S(n-1)=a[a(n-1)-1]/(a-1)
作差可得S(n)-S(n-1)=a(n)= [a/(a-1)] [a(n)-a(n-1)]
则(a-1)×a(n)=a×[a(n)-a(n-1)]
所以a(n)=a×a(n-1)，且S(1)=a(1)=a[S(1)-a(1)+]，可得a(1)=a
所以a(n)=a^n；

（2）由题意知b(1)=[a(1)^2]+a(1)a(1)=2[a^2]，
b(2)=[a(2)^2]+[a(1)+a(2)][a(2)]=2a^4+a^3
b(3)=[a(3)^2]+[a(1)+a(2)+a(3)][a(3)]=2a^6+a^5+a^4
则由[b(2)^2]=b(1)b(3)得
4a^8+2a^7+2a^6=4a^8+4a^7+a^6
解得a=1/2；

（3）c(n)=1/[(1/2)^n+1]-1/[(1/2)^(n+1)-1]
=(2^n)/(2^n+1)+[2^(n+1)]/[2^(n+1)-1]
=1-1/(2^n+1)+1+1/[2^(n+1)-1]
=2-1/(2^n+1)+1/[2^(n+1)-1]
其中-1/(2^n+1)+1/[2^(n+1)-1]
=-2[2^(n-1)-1]/(2^n+1)[2^(n+1)-1]
＞-1/[2^(n+1)-1]
＞-1/[2^(n+1)]
则c(n)＞2-1/[2^(n+1)]
所以
T(n)＞2-1/(2^2)+2-1/(2^3)+…+2-1/[2^(n+1)]
=2n-(1/4)[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]
=2n-(1/2)[1-(1/2)^n]
＞2n-1/2

Answer 2

an=1/2^n
把cn化简一下
cn=2-1/(1+2^n)+1/(2^(n+1)-1)
Tn=2n-1/3+1/(2^2-1)-1/(2^2+1)+1/(2^3-1)+……
可以看出Tn的最后一项为正，头一项-1/3〉-1/2
故只需证明中间部分大于0即可
两两分组，合并，得到其一致的形式1/(2^2n-1)>0
所以得证