Question

向量题，要详细过程

已知向量a=（根号3，-1），b=（1/2，根号三/2）
是否存在不等于0的实数k和t，使x=a +（t^2 - 3）b,y= -ka + tb,且x⊥y?如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由。
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要详细的计算过程，不要一步“整理得”或者“解得”

Answer 1

x*y=[a+(t²-3)b][-ka+tb]
=-ka²+tab-k(t²-3)ab+t(t²-3)b²
a²=(√3)²+(-1)²=4
b²=(1/2)²+(√3/2)²=1
ab=(√3)*(1/2)+(-1)(√3/2)=0
∴上式=-k*4+0-0+t(t²-3)*1=t(t²-3)-4k
∵x⊥y
∴x*y=0
即t(t²-3)-4k=0
∴k=t(t²-3)/4（k≠0）

以上涉及的a，b，x，y分别表示向量a，向量b，向量x，向量y

Answer 2

x垂直于y，则x乘以y等于0

Answer 3

先求得：a^2=3+1=4,-------(*)
b^2=1/4+3/4=1,---(**)
a·b=根号三/2-根号三/2=0---(***)
因为x⊥y，所以x·y=0,即：
[a +（t^2 - 3）b]·(-ka + tb)=0
展开：
-ka^2+tab-k（t^2 - 3）ab+t（t^2 - 3）b^2=0
将（*）（**）（***）三式代入得：
-4k + 0 + 0 + t（t^2 - 3） =0
所以：t^3-3t-4k=0
可以得到k与t的关系式为：k=(t^3-3t)/4，（kt≠0）

Answer 4

x垂直于y，则x乘以y等于0

(a +（t^2 - 3）b)*( -ka + tb)=0

-ka^2+tab-(t^2 - 3）abk+(t^2 - 3）tb^2=0

把向量a=（根号3，-1），b=（1/2，根号三/2），代入，进行向量的坐标运算。

-4k+0-0+(t^2 - 3）t=0,即，t^3-3t-4k=0

所以k与t存在以上的关系。
这道题关键是运用向量垂直的公式与坐标运算，这部分不熟练，要多看书和例题。