Question

初中数学题目

已知a、b都是正整数，2007a+b，2007（a+1）+b都是完全平方数。
（1）请问这样的有序正整数（a，b）共有多少组？
（2）试指出b的最小值，并说明理由。

Answer 1

1. 2007a+b=m^2
2. 2007(a+1)+b=n^2

=》3. 2007a+b+2007=n^2

3-2 => n^2-m^2=2007
=>(n+m)(n-m)=2007

2007=3*3*223=3*（3*223）=（3*3）*223

因此可知道2组，分别是
n+m=223*3=669
n-m=3
=>n=336,m=333
另外一组同样的方法计算知道是n=116,m=107

当m=333的时候，b=(333^2-2007*a)=9(111^2-223a)=9((111-2a)*111-a)
因此111-2a>0 =》 a<55.5,因此这个时候a可以取1到55共55组，当a=55的时候b最小，最小值为9*(111-55)=9*56=504

当m=107
b=(107^2-2007*a)=11449-2007a>0
=>a<5.7,所以a的取值是1到5共5组，次此时当a=5时b最小，最小值为11449-2007*5=1414

因此：
（1）：共有55+5=60组符合的ab组合
（2）：最小的b是504

Answer 2

(1)设这两个平方数为k²，l²
即k²=2007(a+1)+b
l²=2007a+b
则k²-l²=2007(a+1)+b-2007a-b
=2007
=(k+l)(k-l)
2007=1 * 2007
=3 * 669
=9 * 223
则由题意知
k+l=2007 k+l=669 k+l=223
k-l=1 k-l=3 k-l=9
=> k=1004 k=336 k=116
l=1003 l=333 l=107
①当 k=1004 时
l=1003
2007a+b=l²=1003²
则0<a<501 即有501组
②当 k=336 时
l=333
2007a+b=l²=333²
则0<a<55 即有55组
③当 k=116 时
l=107
2007a+b=l²=107²
则0<a<5 即有5组
综上 有55+5+501=561组
(2)当 k²=1004²=1008016=2007(a+1)+b① 时
l²=1003²=1006009=2007a+b②
由①知 b最小值=502 a=501
带入② 等式成立
所以当 k=1004 时
l=1003
b最小值=501
当 k²=336²=112896=2007(a+1)+b① 时
l²=333²=110889=2007a+b②
由①知 b最小值=504 a=55
带入② 等式成立
所以当 k=336 时
l=333
b最小值=504
当 k²=116²=13456=2007(a+1)+b① 时
l²=107²=11449=2007a+b②
由①知 b最小值=1414 a=5
带入② 等式成立
所以当 k=336 时
l=333
b最小值=1414
综上所述 b最小值=501

Answer 3

2007a+b=m^2
2. 2007(a+1)+b=n^2

=》3. 2007a+b+2007=n^2

3-2 => n^2-m^2=2007
=>(n+m)(n-m)=2007

2007=3*3*223=3*（3*223）=（3*3）*223

因此可知道2组，分别是
n+m=223*3=669
n-m=3
=>n=336,m=333
另外一组同样的方法计算知道是n=116,m=107