Question

在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E，且CE=1/2CD，求证：角ACB=2∠B

如图，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E，且CE=1/2CD，求证：角ACB=2∠B

Answer 1

参见附图

做辅助线BF平行于ME与AE交于F，连接DF，延长AD与BF相交

∵ME‖BF，且M为BC中点 得CE=EF即CF=2CE

  又已知条件CE=1/2CD 故CD=CF 易得 ∠2=∠3     。。。。1

∵AD⊥ME ME‖BF 故AD⊥BF 又AD是△BAC的角平分线

  得 △ADB与△ADF 以AD轴对称 易得 ∠1=∠2     。。。。2

∵三角形关系 得∠4=∠2+∠3                    。。。。3    

∴综合1/2/3式 得∠4=2∠1 即∠ACB=2∠B 得证

Answer 2

延长EM交AB于F。过B作BG平行EF交AE延长线于G。
记ME与AD交点为H，延长AH交BG于K。
三角形FHA全等于三角形EHA（高与角平分线重合）。所以AK垂直平分EF，BG。
BG平行于ME，M是BC中点，所以E是GC中点。而CE=1/2CD，所以CG=CD。所以角ACB=2角CGD。
AK垂直平分BG。故角ABG=角AGB，角DBG=角DGB。所以角ABD=角AGD。
所以角ACB=2角B。