Question

请教一个高中数学问题

求函数y=sin6X+cos6的最小正周期，并求出X为何值时Y的最大值为多少？
注：sin6X表示sinX的六次方，cos6X表示cosX的六次方.
带详细解题过程，谢谢~~

Answer 1

分析：求函数y=(sinX)^6+(cosx)^6的最小正周期，一般是先对给定函数进行化简,因为y为高次三角函数，必须降次化简
设a=sinx,b=cosx,则y=a^6+b^6, a^2+b^2=1
应用多项式除法：y=(a^6+b^6)/(a^2+b^2)=a^4-a^2b^2+b^4
∴y=(a^4-a^2b^2+b^4)/(a^2+b^2)=a^2-2b^2+3b^4=a^2+b^2-3b^2+3b^4
=1-3b^2+3b^4
∴y=1+3(cosx)^2((cosx)^2-1) =1-3(cosx)^2(sinx)^2=1-3/4(sin2x)^2
=1-3/4(sin2x)^2=1-3/8(1-cos4x)=5/8+3/8cos4x
即y=3/8cos4x+5/8
∴函数最小正周期为T=2π/4=π/2,振幅3/8，初始值5/8
当x=2kπ时，函数取最大值1，x=(2k+1)π时函数取最小值2/8

Answer 2

y=（sinX）^6+(cosx)^6
=[(sinx)^2+(cosx)^2][sinx)^4-(sinxcosx)^2+(cosx)^4]
=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-3(sinxcosx)^2
=1-3/4(sin2x)^2
=1-3/8(1-cos4x)
=5/8+3/8cos4x

T=2∏/4=∏/2

当4x=2k∏，k∈Z，时ymax=1

Answer 3

y=（1-cos2x)^3+cos6x=(1-cos2x)(1+cos4x-cos2x)+cos6x=1+2cos4x
周期二分之pai
最大值4x=2k pai 为3