Question

一个关于周期函数的问题（高中）

已知一个函数既以（1，0）点对称又以（-1，0）点对称，怎么证明它是周期为4的周期函数呢？
能想象出来它可以是余切函数的样子，但是怎么证明呢？

Answer 1

∵其关于（1，0）对称
∴f(1-x)=f(1+x)
将x代以-x+2
∴f(-1+x)=f(-x+3)
同理，关于（-1，0）对称
则f(-1-x)=f(-1+x)
∴f(-1-x)=f(-x+3)
将x代以-x-1,
得f(x)=f(x+4)
∴以4为周期

Answer 2

因为f(x)=-f(1-x)
f(x)=-f(-1-x)
所以f(1-x)=f(-1-x)
用x代替-1-x即为f(x+2)=f(x)
所以周期最少为2