Question

一道不等式题目

若关于x的不等式x的平方+9+（x的平方-3x）大于等于kx 在[1,5]上恒成立，求实数k的取值范围。（）表示绝对值。

Answer 1

x^2+9+|x^2-3x|≥kx

当x∈（-∞，0）∪（3，+∞）∩[1，5]=（3，5]时，x^2-3x>0,
∴x^2+9+x^2-3x≥kx
∴2x+9/x-3≥k，而2x+9/x≥2√18=6√2（当且仅当2x=9/x,即x=3/√2时，=成立，但3/√2不在（3，5]内，2x+9/x在（3，5]上单调递增∴2x+9/x大于2*3+9/3=9,)这个时候k最大取9+3即k≤12

当x∈【1，3】时，x^2-3x≤0
∴x^2+9-x^2+3x≥kx
9+3x≥kx
k≤9/x+3
∵9/x+3∈【6，12】
∴k≤6

两种情况取交集得k≤6