Question

一道数学不等式证明题

如果a,b为实数，证明 ( 3a^4)-(4a^3b)+ （b^4) 大于等于0

Answer 1

( 3a^4)-(4a^3b)+ （b^4)=(a^4+b^4-2a^2b^2)+(2a^2b^2+2a^4-4a^3b)
=(a^2-b^2)^2+2a^2(a-b)^2>=0.

Answer 2

( 3a^4)-(4a^3b)+ （b^4)
= ( 3a^4)-(3a^3b)-a^3b+ （b^4)
=3a^3(a-b)-b(a^3-b^3)
=3a^3(a-b)-b(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)(3a^3-ba^2-ab^2-b^3)
=(a-b)[(a^3-b^3)+a^2(a-b)+a(a^2-b^2)]
=(a-b)^2(3a^2+2ab+b^2)
=(a-b)^2[2a^2+(a+b)^2]
由于（a-b）^2,a^2,(a+b)^2都大于或等于0
所以( 3a^4)-(4a^3b)+ （b^4) 大于等于0