Question

高一数学 指数函数

设Y=f（x）是定义域R上的函 数，且对于任意X，Y∈R恒有f（x+y)=f(x).f(y)
,若X＞0时，0＜f(x)＜1时，求证
1 f（0）=1 且有X＜0，f(x)＞1
2 f（x）在R上单调递减

Answer 1

1)
f(0)=1
当x>0时 -x<0 f(-x)>1
f(x-x)=f(x)*f(-x)
f(x)=1/f(-x)
因为f(-x)>1
所以当x>0时 0<f(x)<1
(2)任意x1,x2∈R
x1>x2 x1-x2>0 0<f(x1-x2)<1
f(x1)-f(x2)
=f(x2+x1-x2)-f(x2)
=f(x2)*f(x1-x2)-f(x2)
=f(x2)(f(x1-x2)-1)
<0