Question

数学题求证，高手进

四边形ABCD内接于圆。求证三角形ABC, BCD, CDA, DAB的内心是一个长方形的四个顶点。
致回答者492707745：从ABCD内接于圆是无论如何都推不出来ABCD是平行四边形的。
继续补充：四边形是任意圆内接四边形。

Answer 1

楼上的解法有问题啊：难道说任意一个内接于圆O的四边形都是平行四边形？

正确的解法如下：

连接DO4,CO3,BO2，DO3,CO4，CO2,BO3

则∠DO3C=π-1/2（∠BDC+∠BCD）=π/2+1/2∠DBC

同理：∠DO4C=π/2+1/2∠DAC

由于在圆中有：：∠DAC=∠DBC

故：∠DO3C=∠DO4C

所以：D，O4,O3,C四点共圆

同理：O2,O3,C,B四点共圆

即有：∠O4DC+∠O4O3C=π

     ∠O2O3C+∠O2BC=π

由于O4，O2为△ADC和△ABC内心

有：∠ADO4=∠CDO4

  ∠CBO2=∠ABO2

由于在圆中有：∠ADC+∠ABC=π

故∠CDO4+∠CBO2=π/2

由于：：∠O4DC+∠O4O3C=π

     ∠O2O3C+∠O2BC=π

故∠O4O3C+∠O2O3C=3π/2

∠O4O3O2=2π-∠O4O3C-∠O2O3C=2π-3π/2=π/2

同理可得其他角也为90度

Answer 2

因为四边形ABCD内接于圆。
所以ABCD四个点在圆上、
连接AC BD，做三角形ABC, BCD, CDA, DAB
则角ACB=角BDA 角BCD=角DAB 、、、、、、

所以四边形ABCD是平行四边行、
又因为四边形ABCD内接于圆，所以圆心在四边形的对角线交点处。所以三角形ABC, BCD, CDA, DAB的内心是一个长方形的四个顶点。