Question

一个抽象代数的入门级问题

0不等于1，则环中至少有两个元素，为什么？
交换幺环为什么有这样的性质？

Answer 1

0不等于1的意思是说 加法零元和乘法恒元不相等。

由乘法恒元的性质，应该有 1*0=0

这个环至少含有两个元素{0，1}

有这样的环，它只含两个元素，它是一个域，叫二元域{0，1}
其中0+0=0 0+1=1 1+1=0 0*0=0 1*0=0 1*1=1

Answer 2

因为0和1就是这个环中的两个元素

Answer 3

1+0=1，0+0=0，则1必然不是加法单位元，否则0+1=0不等于1+0=1，与交换性矛盾。
由此可知，1和0是两个不同的元素。

Answer 4

若环中有一个元素，0就等于1