Question

判断函数奇偶性，并说明为什么

1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1).F(x)=f(x)+f(-x)
(2).F(x)=f(x)-f(-x)

2.判断奇偶性
（1）f（x）=x+1的绝对值-x-1的绝对值

Answer 1

1、
(1)
F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)
定义域R关于原点对称
所以是偶函数

(2)
F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)
定义域R关于原点对称
所以是奇函数

2、
f(-x)=|-x+1|-|-x-1|
=|x-1|-|x+1|
=-f(x)
定义域是R关于原点对称
所以是奇函数

Answer 2

1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1).F(x)=f(x)+f(-x)
(2).F(x)=f(x)-f(-x)
解：∵F(-x)=f(-x)+f =f(x)+f(-x)
=F(x)
∴偶函数
∵F(-x)=f(-x)-f[-(-x)]
=f(-x)-f(x)
=-（f(x)-f(-x)）
=-F(x)
∴奇函数
2。f（x）=x+1的绝对值-x-1的绝对值

∵f（-x）=▏-x+1▕-▏-x-1▕
=▏x-1▕ - ▏x+1▕
=-(▏x+1▕-▏x-1▕)
=-f（x）
∴奇函数

Answer 3

(1).F(x)=f(x)+f(-x)
F（-x）=f（-x）+f（x）
两式相减，得F（x）-F（-x）=0，得F（x）=F（-x）
所以是偶函数

(2).F(x)=f(x)-f(-x)
F（-x）=f（-x）-f（x）
两式相减，得F（x）+F（-x）=0，得F（x）=-F（-x）
所以是奇函数

2、f（x）=｜x+1｜-｜x-1｜
f（-x）=｜1-x｜-｜-x-1｜
=-（｜｜x+1｜-｜x-1｜） =-f（x）
所以此函数是奇函数

Answer 4

f(x)=f(-x)为偶函数 -f(x)=f(-x)为奇函数
所以带-X进入F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数