Question

物理竞赛题

在倾角为α的足够宽广的斜坡上修有一高为h的塔台，在塔台上有一门炮，炮弹出口的初速度为v，试求该炮能控制的山坡的面积
先给答案，再把简要步骤列一下，谢谢
我自己是用包络线解得，但好像炮台不再椭圆的一个焦点上。
各位高手给点帮助或新的解法谢谢
哥哥们，题目不是那么简单。
答案是面积S=∏*v^4*sqrt{(1+2gh/v^2)*[1+2gh*(cosα)^2/v^2]}/[g^2*(cosα)^3]
sqrt表示开方，∏是pi看起来有点不像。
不要怀疑答案，有人已用极坐标证明。
傻中傻霸的答案我很认真的看了，
z=-g(x^2+y^2)/(2v^2)+v^2/(2g)+h
z=-tanαx两方程联立解得的是斜面方程，不是xoy平面方程。

Answer 1

如果用求极值方法求最远落点我觉得计算量太大了
从某一点以速度v向任意角度抛出炸弹，炸弹所有可能出现的位置组成一个区域，现求这个区域的包络面。
先看二维情形，有
x=vtcosθ
y=vtsinθ-gt^2/2
联立消去t得y=xtanθ-g[1+(tanθ)^2]x^2/(2v^2)，令y对θ的导数为零求极值，得包络面为
y=-gx^2/(2v^2)+v^2/(2g)，现在炮塔高为h，并转换到三维情形，有
z=-g(x^2+y^2)/(2v^2)+v^2/(2g)+h
上式就是炮弹轨迹包络面，该面与平面z=-tanαx的交点即为炮弹的最远落点，截面即炮弹可以打到的范围，将
z=-g(x^2+y^2)/(2v^2)+v^2/(2g)+h
z=-tanαx
二式联立可消去z，得到一个方程，这个方程是截面在xoy平面内的投影，为一个圆，求出这个圆的体积，再反投影到截面上即可
这个圆的体积为πr^2,其中r^2=(2v^2/g){v^2/[2g(cosα)^2]+h}
截面面积则为πr^2/cosα

我不确定我计算无误,比求落点极值明显小很多，我2个方法都计算了，求落点太繁复我直接放弃了。

Answer 2

建立斜坐标系（X轴与斜坡平行），并将重力加速度分解为x和y分量。列出y与x关于时间的函数，联立消去t，求出x的最大值即可。

注：1 不是圆面啊哥哥，这是常识嘛。。。
2 包络面的方法固然可以，但对初学者来说未免专业了点，并且，这个方法计算量会比求极值小吗。。。。。。

Answer 3

弹落点为以炮为中心的圆面，半经就是上述的X最大值。 注意重力要沿斜面分解。