Question

一道圆锥曲线的题目

第六题 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在点P使a/sin∠PF1F2=c/ sin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围是多少

要过程哈，谢了

Answer 1

若P为椭圆长轴端点，sin<PF1F2=sin<PF2F1=0则离心率e的范围为（0,1）
若P不为椭圆长轴端点，则e=c/a=sin<PF2F1/sin<PF1F2=PF1/PF2<1(正弦定理）,PF1=ePF2
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a<PF2<a+c,即
a<2c/[e(e+1)]<a+c,即1<2e/[e(e+1)]<1+e
即1<2/(e+1)<1+e,
（根号2）-1<e<1
综上若P为椭圆长轴端点，e的范围为（0,1）
若P不为椭圆长轴端点，e的范围为(（根号2）-1,1)