Question

高中数学函数：已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)<0,f(xy)=f(x)+f(y),

已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)<0,且f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明f(x)在定义域上是减函数
（2）如果f(√3/3)=1，求满足不等式f(x)-f(1/(x-2))≥-2的x的取值范围。

Answer 1

1）证明f(x)在定义域上是减函数
任设x1>x2>0,则x1/x2>1,f(x1/x2)<0
f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0
即f(x1)<f(x2)
即f(x)是减函数.

（2）如果f(√3/3)=1，求满足不等式f(x)-f(1/(x-2))≥-2的x的取值范围。
定义域x>0,x-2>0,即x>2
f(1/3)=f(根号3/3*根号3/3)=2f(根号3/3)=2
所以有:f(x)-f(1/(x-2))>=-f(1/3)
f(x)+f(1/3)>=f(1/(x-2))
f(x/3)>=f(1/(x-2))
减函数得:x/3<=1/(x-2),又x>2
故:x(x-2)<=3
x^2-2x-3<=0
(x-3)(x+1)<=0
-1<=x<=3
综上所述,2<x<=3