Question

设函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x+2)都是奇函数，则f(x)是--（填奇或偶）

Answer 1

f(x+1)与f(x+2)都是奇函数
所以f(x+1)=-f(-x+1) f(x+2)=-f(-x+2)
f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-(x+1)+1）=-f(-x)=-f(-x+2)
则f(-x)=-f(-x+2)
所以令x=-x
f(x)=f(x+2)
又f(x+2)=-f(-x)
所以f(x)=-f(-x)
所以为奇函数

Answer 2

f(-x+1) = -f(x+1)
f(-x+2) = -f(x+2)

f(-x) = f(-(x+1)+1) = -f((x+1)+1) = -f(x+2) = -(-f(-x+2)) = f(-x+2)
= f(-x+1+1) = f(-(x-1)+1)
= -f((x-1)+1) = -f(x)

所以f(x)是奇函数