Question

高一数学 （函数）

f(x)=2^x+2^(-x)
证明在(0,正无穷）上是增函数
麻烦了！！

Answer 1

用定义证明任取0<X1<X2
F(X1)-F(X2)=2^X1-2^X2+0.5^X1-0.5^X2
因为2^X递增0.5^X递减
所以原式=2^X1-2^X2+(2^X1+2^X2)/(2^X1*2^X2)(后面两项通分）>0
所以F(X1)>F(X2)
所以在(0,正无穷）上是增函数

Answer 2

换元法。

令u=2^x,则原式等价于f(u)=u+1/u

因为x>0，所以u>1
对于f(u)可以看出，这是一个对勾函数（注：该函数在x>0时先减后增，x=1时函数取到极小值是2，这个可以用基本不等式求出）
因为u>1，所以f(u)在u>1上增。
因为u=2^x为增函数，所以f(x)也是增函数。
证毕。

Answer 3

设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=2^x1+2^(-x1)-[2^x2+2^(-x2)]
=(2^x1-2^x2)+2^(-x1-x2)(2^x2-2^x1)
=(2^x1-2^x2)[1- 2^(-x1-x2)]
由假设和指数性质可得2^x1-2^x2>0
又x1>0，x2>0
x1+x2>0 2^(-x1-x2)<1
1- 2^(-x1-x2)>0
f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
由增函数定义即证

Answer 4

取0<a<b<正无穷
f(b)-f(a)=(2^b-2^a)+[(2^(-b)-2^(-a)]
x越大，后半部分越趋近于0，易知f(b)-f(a)》0，得证

Answer 5

设a、b是定义域上的任意两个实数，且a>b.
则f(a)-f(b)=2^(a-b)+2^(b-a)=2^(a-b)+1/2^(a-b)
因为a>b所以a-b>0 则2^(a-b)>0，1/2^(a-b)>0
所以f(a)-f(b)>0，即f(a)>f(b)
所以得结论