Question

高中数学导数：已知函数f（x）=ln（e^x+1)-ax (a>0)

问（1）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a的值
（2）求函数y=f(x)的单调区间

Answer 1

（1）因为y=f(x)的导函数是奇函数，
所以f′(0)=0,
又f′(x)=e^x/e^x+1-a
所以f′(0)=1/2-a=0
所以a=1/2
（2）f′（x）=e^x/e^x+1-a
①当f′（x）>0
即e^x/e^x+1>a 化简e^x(1-a)>a
一当1-a>0即0<a<1时e^x>a/1-a
所以x>㏑（a/1-a）此时f（x）为单调递增函数
二当1-a≤0即a≥1时不成立
②当f′（x）<0
即e^x(1-a)<a
一当1-a>0即0<a<1时e^x<a/1-a
所以x<㏑(a/1-a),此时f（x）为单调递减函数
二当1-a≤0即a≥1时x∈(-∞,+∞)此时f（x）为单调递减函数
综上①当0<a<1时，f（x）的单调递增区间是（ln（a/1-a）,+∞)
f(x)的单调递减区间是（—∞，ln（a/1-a）
②当a≥1时y=f（x）在区间上单调递减

Answer 2

1)因为 函数y=f(x)的导函数是奇函数

所以 f(x)就为偶函数
利用f(x)=f(-x）求得a=1/2
2)先求导 得f'(x)=e^x/(e^x+1)-a
然后令f'(x)=0 整理得（1-a)e^x=a
讨论：
①a=1 即f'(x）＜0所以为减函数
②a＜1 ,e^x=a/(1-a) 即x=㏑{a/(1-a)}

所以 在（0，㏑{a/(1-a)}】上为减函数
在（㏑{a/(1-a)}），+∞）上为增函数

③a＞1 舍

思路差不多就这样 详细过程自己再算算看看， 不懂找我！

Answer 3

（1）导函数为g(x)=e^x/(e^x+1)-a
为奇函数，所以g(-x)=-g(x)
e^-x/(e^-x+1)-a=-e^x/(e^x+1)+a
化简可得a=(1+e^x)/2(1+e^x)=1/2
(2)g(x)>0
a<e^x/(e^x+1); e^x(a-1)< -a,因为e^x>0,-a<0,所以（a-1）必<0,所以 x>ln(-a/(a-1))
g(x)<0
可得，(a-1)e^x>-a;当a>1时，x为任意数，当a<1时，x<ln(-a/(a-1))
综上可得，a>1时，x在R上为减函数;a<1,……自己写吧

Answer 4

f'(x)=e^x/e^x+1-a,其为奇函数则有f’(0)=0,得a=1/2.
f（x）=ln（e^x+1)-1/2 x ,令f'(x)=e^x/(e^x+1)-1/2=0
得x=0,当x>0时f'(x)>0,当x<0时f'(x)<0,所以增区间为{x/x>0}减区间为{x/x<0}

Answer 5

(1):f'(x)=e^x/(e^x+1)-a,由f'(x)=-f'(-x),得a=1/2
(2)手上没草稿纸，没办法，只能帮到这。